Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）若曲數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的最小值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)榍�線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，解得，代入求得，令，即可求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分別根據(jù)和、三種情況分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的最小值，即可求解的值．

試題解析：（1）因?yàn)榍�線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，

所以，即，解得．

當(dāng)時(shí)，．

令，解得，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為（0,2）．

（2）當(dāng)時(shí)，在（1,3）上恒成立，這時(shí)在[1,3]上為增函數(shù)，

∴，令，得（舍去）；

當(dāng)時(shí)，由得，

∴對(duì)于有在上為減函數(shù)，

對(duì)于有，在上為增函數(shù)，

∴，令，得；

當(dāng)時(shí)，在（1,3）上恒成立，這時(shí)在[1,3]上為減函數(shù)，

∴，令得（舍去）．

綜上，．