解法一:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.…………
(Ⅱ)∵D為PB的中點,DE//BC,
∴
,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP為等腰直角三角形,∴
,
∴在Rt△ABC中,
,∴
.
∴在Rt△ADE中,
,
∴
與平面
所成的角的余弦值為
.…………
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE
平面PAC,PE
平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP為二面角
的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴
.
∴在棱PC上存在一點E,使得AE⊥PC,這時
,
故存在點E使得二面角
是直二面角. …………
解法二:如圖,以A為原煤點建立空間直角坐標系
,
設
,由已知可得
.
(Ⅰ)∵
,
∴
,∴BC⊥AP.
又∵
,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.…………
(Ⅱ)∵D為PB的中點,DE//BC,∴E為PC的中點,
∴
,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,
∵
,
∴
.
∴
與平面
所成的角的余弦值為
.………
(Ⅲ)同解法1.