Question

16．已知cosa=$\frac{4}{5}$，a∈（-$\frac{π}{2}$，0）
求（1）sin2a，cos2a，tan2a的值
（2）sin（a+$\frac{π}{3}$），cos（a+$\frac{π}{6}$），tan（a+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sina的值，利用二倍角公式可求sin2a，cos2a，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tan2a的值．
（2）由（1）可得tana=-$\frac{3}{4}$，利用兩角和的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可化簡計(jì)算求值．

解答 解：（1）∵cosa=$\frac{4}{5}$，a∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴sina=-$\sqrt{1-co{s}^{2}a}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin2a=2sinacosa=2×$（-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}$=-$\frac{24}{25}$，
cos2a=2cos²a-1=2×$\frac{16}{25}$-1=$\frac{7}{25}$，
tan2a=$\frac{sin2a}{cos2a}$=$\frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}$=-$\frac{24}{7}$．
（2）∵由（1）可得：cosa=$\frac{4}{5}$，sina=-$\frac{3}{5}$，可得：tana=-$\frac{3}{4}$，
∴sin（a+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sina+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosa=$\frac{1}{2}×（-\frac{3}{5}）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
cos（a+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$，
tan（a+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+tana}{1-tana}$=$\frac{1+（-\frac{3}{4}）}{1-（-\frac{3}{4}）}$=$\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，熟練記憶和應(yīng)用相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．