Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一個周期內(nèi)的部分對應(yīng)值如下
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=2f（x-$\frac{π}{12}$），x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，求h（x）的最大值和最小值．

x	$-\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{4}$
f（x）	0	1	$\frac{1}{2}$	0	-1	0

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件確定函數(shù)的周期，求出ω 和φ的值即可得到結(jié)論．
（2）求出h（x）的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由函數(shù)的值可達(dá)函數(shù)的周期T=$\frac{3π}{4}$-（-$\frac{π}{4}$）=π，即$\frac{2π}{ω}$=π得ω=2，
即f（x）=sin（2x+φ），
當(dāng)x=0時，函數(shù)取得最大值1，則x=0是函數(shù)的對稱軸，
即sinφ=1，則φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，
∵0＜φ＜π，∴k=0時，φ=$\frac{π}{2}$，
就f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x．
（2）h（x）=2f（x-$\frac{π}{12}$）=2cos2（x-$\frac{π}{12}$）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
則當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)h（x）取得最大值此時，h（x）=2cos$\frac{π}{3}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$時，函數(shù)h（x）取得最小值此時，h（x）=2cos（-$\frac{π}{2}$）=-2，
即h（x）的最大值為1，最小值為-2．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，根據(jù)條件求出ω 和φ的值，求解函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．