已知函數(shù)y=g（x）的圖象與f(x)=x+
1
x
的圖象關(guān)于點A（0，1）對稱．
（1）求y=g（x）的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)F(x)=g(x)+
a
x
（a∈R），若對任意x∈（0，2]，F(xiàn)（x）≥8恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）設(shè)g（x）上任意一點 （x，y ） 關(guān)于 A（0，1）的對稱點為 （x'，y'）根據(jù)中點坐標公式建立等式，根據(jù)點（x'，y'）在函數(shù)f（x）的圖象上，代入函數(shù)f（x）解析式，即可求出函數(shù)g（x）的解析式；
（2）要使F(x)=g(x)+
a
x
=2+x+
1
x
+
a
x
≥8對任意x∈（0，2]恒成立，可轉(zhuǎn)化成a≥-x2+6x-1對任意x∈（0，2]恒成立
即a≥（-x2+6x-1）max，從而求出a的取值范圍即可．
解答：解：（1）設(shè)g（x）上任意一點（x，y ） 關(guān)于 A（0，1）的對稱點為 （x'，y'），
則根據(jù)中點坐標公式得
x+x′
2
=0，
y+y′
2
=1
整理得x'=-x，y'=2-y
而點（x'，y'）在f（x）的圖象上，
代入函數(shù)f(x)=x+
1
x
得f（x'）=f（-x）=-x-
1
x
=2-g（x）
整理得g（x）=2+x+
1
x

（2）F(x)=g(x)+
a
x
=2+x+
1
x
+
a
x
≥8對任意x∈（0，2]恒成立
∴a≥-x2+6x-1對任意x∈（0，2]恒成立
即a≥（-x2+6x-1）max=-4+12-1=7
∴實數(shù)a的取值范圍是[7，+∞）
點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用函數(shù)的對稱性求函數(shù)解析式，同時考查了分離法的運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=g（x）與f（x）=loga（x+1）（a＞1）的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）寫出y=g（x）的解析式；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）+m為奇函數(shù)，試確定實數(shù)m的值；
（3）當x∈[0，1）時，總有f（x）+g（x）≥n成立，求實數(shù)n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=G（x）的圖象過原點，其導(dǎo)函數(shù)為y=f（x），函數(shù)f（x）=3x2+2bx+c且滿足f（1-x）=f（1+x）．
（1）若f（x）≥0，對x∈[0，3]恒成立，求實數(shù)c的最小值．（2）設(shè)G（x）在x=t處取得極大值，記此極大值為g（t），求g（t）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=
1
2
ax2-（a-1）x，（a∈R）．
（Ⅰ）已知函數(shù)y=g（x）的零點至少有一個在原點右側(cè)，求實數(shù)a的范圍．
（Ⅱ）記函數(shù)y=F（x）的圖象為曲線C．設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線C上的不同兩點．如果在曲線C上存在點M（x0，y0），使得：①x0=
x1+x2
2
；②曲線C在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)f（x）=存在“中值相依切線”．
試問：函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）（a∈R且a≠0）是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•棗莊二模）已知函數(shù)f(x)=2co
s
2
 
ωx-1+2
3
cosωxsinωx(0＜ω＜1)，直線x=
π
3
是f(x)圖象的一條對稱軸．
（1）試求ω的值：
（2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移
2π
3
個單位長度得到，若g(2α+
π
3
)=
6
5
，α∈(0，
π
2
)，求sinα的值．

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