【題目】已知是定義域?yàn)?/span>上的函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有：成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則稱函數(shù)是上的凸函數(shù)，凸函數(shù)具有以下性質(zhì)：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有：成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，設(shè)

（1）求證：是上的凸函數(shù)

（2）設(shè)，，利用凸函數(shù)的定義求的最大值

（3）設(shè)是三個(gè)內(nèi)角，利用凸函數(shù)性質(zhì)證明

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義證明 成立，利用三角函數(shù)和差化積公式進(jìn)行證明．

（2）根據(jù)定義求最值直接套入凸函數(shù)的定義式中，易得函數(shù)的最大值．

（3）直接利用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式即可，注意到中，，可證得結(jié)論成立．

（1）設(shè)，，則 ，

又

，又，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，上式取得等號(hào)，

即成立，其中，，

上的凸函數(shù).

（2）設(shè)，，

是上的凸函數(shù)；，，

由凸函數(shù)的定義得到，

的最大值為.

（3）在中，，

由凸函數(shù)的性質(zhì)得到．

所以原不等式得證．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查觀眾對(duì)電視劇《風(fēng)箏》的喜愛程度，某電視臺(tái)舉辦了一次現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查活動(dòng).在參加此活動(dòng)的甲、乙兩地觀眾中，各隨機(jī)抽取了8名觀眾對(duì)該電視劇評(píng)分做調(diào)查(滿分100分)，被抽取的觀眾的評(píng)分結(jié)果如圖所示

（Ⅰ）計(jì)算：①甲地被抽取的觀眾評(píng)分的中位數(shù)；

②乙地被抽取的觀眾評(píng)分的極差；

（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率,若從乙地的所有觀眾中再隨機(jī)抽取4人進(jìn)行評(píng)分調(diào)查,記抽取的4人評(píng)分不低于90分的人數(shù)為，求的分布列與期望；

（Ⅲ）從甲、乙兩地分別抽取的8名觀眾中各抽取一人，在已知兩人中至少一人評(píng)分不低于90分的條件下，求乙地被抽取的觀眾評(píng)分低于90分的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市小型機(jī)動(dòng)車駕照“科二”考試中共有5項(xiàng)考查項(xiàng)目，分別記作①，②，③，④，⑤.

（1）某教練將所帶10名學(xué)員“科二”模擬考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（如表所示），并計(jì)算從恰有2項(xiàng)成績(jī)不合格的學(xué)員中任意抽出2人進(jìn)行補(bǔ)測(cè)（只測(cè)不合格的項(xiàng)目），求補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目種類不超過3（）項(xiàng)的概率.

（2）“科二”考試中，學(xué)員需繳納150元的報(bào)名費(fèi)，并進(jìn)行1輪測(cè)試（按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行）；如果某項(xiàng)目不合格，可免費(fèi)再進(jìn)行1輪補(bǔ)測(cè)；若第1輪補(bǔ)測(cè)中仍有不合格的項(xiàng)目，可選擇“是否補(bǔ)考”；若補(bǔ)考則需繳納300元補(bǔ)考費(fèi)，并獲得最多2輪補(bǔ)測(cè)機(jī)會(huì)，否則考試結(jié)束；每1輪補(bǔ)測(cè)都按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行，學(xué)員在任何1輪測(cè)試或補(bǔ)測(cè)中5個(gè)項(xiàng)目均合格，方可通過“科二”考試，每人最多只能補(bǔ)考1次，某學(xué)院每輪測(cè)試或補(bǔ)考通過①，②，③，④，⑤各項(xiàng)測(cè)試的概率依次為，且他遇到“是否補(bǔ)考”的決斷時(shí)會(huì)選擇補(bǔ)考.

①求該學(xué)員能通過“科二”考試的概率；

②求該學(xué)員繳納的考試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形， 為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）求與平面所成的角.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（ ）是偶函數(shù)．

（1）求的值；

（2）設(shè)函數(shù)，其中．若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐，底面是平行四邊形，，底面，，，，分別為，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

（1）求證：面；

（2）求直線與平面所成的角.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的一系列對(duì)應(yīng)值如下表：

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)的一個(gè)解析式；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)周期為，當(dāng)時(shí)，方程 恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)，且=10

（1）求的解析式；

（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．

（3）函數(shù)在[-3，0）上是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？(直接寫出答案，不要求寫證明過程)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A.命題“若，則”的逆否命題是“若，則”

B.“”是“”的充分條件

C.命題“若，則方程有實(shí)根”的逆命題是真命題

D.命題“若，則且”的否命題是“若，則或”

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案