Question

6．在△ABC中，tanA=$\frac{1}{3}$，tanC=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設(shè)α+β=B（α＞0，β＞0），求$\sqrt{2}$sinα-sinβ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正切函數(shù)公式可求tanB的值，結(jié)合范圍0＜B＜π，可求B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$α+β=\frac{3π}{4}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得$\sqrt{2}$sinα-sinβ=sin（α-$\frac{π}{4}$），結(jié)合范圍$0＜α＜\frac{3π}{4}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，
∴B=π-（A+C），
又$tanA=\frac{1}{3}$，$tanC=\frac{1}{2}$，
則$tanB=tan[{π-（A+C）}]=-tan（A+C）=-\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}=-1$，
∵B為△ABC的內(nèi)角，
∴$B=\frac{3π}{4}$．
（Ⅱ）∵α+β=B（α＞0，β＞0），
∴$α+β=\frac{3π}{4}$．
∵$\sqrt{2}sinα-sinβ=\sqrt{2}sinα-sin（\frac{3π}{4}-α）=\sqrt{2}sinα-（\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosα+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinα）$=$sin（α-\frac{π}{4}）$，
又α+β=B（α＞0，β＞0），
則$α∈（0，\frac{3π}{4}）$，$α-\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，
∴$sin（α-\frac{π}{4}）∈（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$，即$\sqrt{2}sinα-sinβ$的范圍是$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正切函數(shù)公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．