Question

設(shè)a為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)y=f（x）至多有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=x³-ax²-a²x+1，得f'（x）=3x²-2ax-a²．（2分）
令f'（x）=3x²-2ax-a²=0，得x1=-

a

3

，x2=a(a＞0)，

x	(-∞，- a 3 )	- a 3	(- a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

（5分）
∴f(x)極大=f(-

a

3

)=(-

a

3

)3-a(-

a

3

)2-a2×(-

a

3

)+1=

5

27

a3+1（6分）
f(x)極小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）在(-∞，-

a

3

)上遞增，在(-

a

3

，a)上遞減，在（a，+∞）上遞增，
f(x)極大=f(-

a

3

)=

5

27

a3+1＞0(a＞0)，f(x)極小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（9分）
當(dāng)極小值f（a）=1-a³≥0，即0＜a≤1時(shí)，y=f（x）在x∈(-

a

3

，+∞)上有1個(gè)或0個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)f（-1）=a²-a=a（a-1）≤0，∴y=f（x）在x∈(-∞，-

a

3

)上有1個(gè)零點(diǎn)，
∴0＜a≤1時(shí)，y=f（x）有1個(gè)或2個(gè)零點(diǎn)；                         （11分）
當(dāng)極小值f（a）=1-a³＜0，即a＞1時(shí)，y=f（x）在x∈(-

a

3

，+∞)上有2個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)f（-a）=1-a³＜0，y=f（x）在x∈(-∞，-

a

3

)上有1個(gè)零點(diǎn)，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，y=f（x）有3個(gè)零點(diǎn)；                                 （13分）
綜上，若函數(shù)y=f（x）至多有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是a∈（0，1]．（14分）