Question

設函數f（x）對?x，y有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求證：f（x）為奇函數、減函數；
（2）問在[-3，3]上，f（x）是否有最值？若有，求最值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數奇偶性的判斷

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）令x=y=0⇒f（0）=0；再令y=-x⇒f（-x）=-f（x）從而可證f（x）是奇函數；任取x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，利用單調性的定義判斷函數f（x）的單調性；
（2）由（1）的單調性，和f（1）=-2，可求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答： （1）證明：令x=y=0，知f（0）=0；
再令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數；
任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）=f[x₂+（-x₁）]=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）為R上的減函數；
（2）解：由于f（1）=-2．
則f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
即有f（-3）=-f（3）=6，
由f（x）為R上的減函數，則f（x）在[-3，3]上遞減，且有f（-3）最大，f（3）最�。�
∴f（x）_max=f（-3）=6，f（x）_min=f（3）=-6．

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查賦值法，突出考查函數奇偶性與單調性的判斷與證明，屬于中檔題．