Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=

1

2

an+

1

2n+1

（n≥1），其中a₁=

1

4

（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用遞推思想能求出a₁，a₂，a₃．．
（Ⅱ）由已知得2n+1an+1=2nan+1，2a₁=

1

2

，從而{2ⁿa_n}是首項為

1

2

，公差為1的等差數列，由此能求出a_n=

n- 1 2

2n

．
（Ⅲ）利用錯位相減法能求出數列{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數列{a_n}滿足a_n+1=

1

2

an+

1

2n+1

（n≥1），其中a₁=

1

4

，
∴a₁=

1

4

，
a2=

1

2

×

1

4

+

1

22

=

3

8

，
a3 =

1

2

×

3

8

+

1

23

=

5

16

．
（Ⅱ）∵數列{a_n}滿足a_n+1=

1

2

an+

1

2n+1

（n≥1），其中a₁=

1

4

，
∴2n+1an+1=2nan+1，2a₁=

1

2

，
∴{2ⁿa_n}是首項為

1

2

，公差為1的等差數列，
∴2ⁿa_n=

1

2

+(n-1)×1=n-

1

2

，
∴a_n=

n- 1 2

2n

．
（Ⅲ）S_n=

1

2

×

1

2

+

3

2

×

1

22

+…+

2n-1

2

×

1

2n

，①

1

2

Sn=

1

2

×

1

22

+

3

2

×

1

23

+…+

2n-1

2

×

1

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

4

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

2n-1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n

-

2n-1

2n+2

=

3

4

-

2n+3

2n+2

，
∴S_n=

3

2

-

2n+3

2n+1

．

點評：本題考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．