Question

()若一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來(lái)的順序構(gòu)成等差數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列為調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列是調(diào)和數(shù)列，對(duì)于各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列，滿足．

（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）把數(shù)列中所有項(xiàng)按如圖所示的規(guī)律排成一個(gè)三角形

數(shù)表，當(dāng)時(shí)，求第行各數(shù)的和；

（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的數(shù)列，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）

（Ⅲ）見(jiàn)解析

解析:

（Ⅰ）證明：因?yàn)?img width=108 height=26 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/142/78742.gif">，且數(shù)列中各項(xiàng)都是正數(shù)，

所以 ．

設(shè)，   ①

因?yàn)閿?shù)列是調(diào)和數(shù)列，故，．

所以，．   ②

由①得，代入②式得，

所以，即.

故，所以數(shù)列是等比數(shù)列．       …………………………5分

（Ⅱ）設(shè)的公比為，則，即．由于，故．

于是．

注意到第行共有個(gè)數(shù)，

所以三角形數(shù)表中第1行至第行共含有個(gè)數(shù).

因此第行第1個(gè)數(shù)是數(shù)列中的第項(xiàng).

故第行第1個(gè)數(shù)是，

所以第行各數(shù)的和為．  ………… 9分

（Ⅲ）因?yàn)?img width=50 height=26 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/173/78773.gif">，所以.

所以．

又 ，

，

所以

.

所以 ．   ………………………14分