Question

坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的其中一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，1），且點(diǎn)P（-

6

2

，

1

2

）在C₁上．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）若直線l：y=kx+m與橢圓C₁交于M，N且k_OM+k_ON=4k，求證：m²為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）根據(jù)條件求出a，b即可求橢圓C₁的方程；
（II）聯(lián)立直線和橢圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用斜率公式進(jìn)行求解證明即可．

解答： 解：（Ⅰ） 由題意，橢圓C₁的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，1），所以b=1，…（2分）
點(diǎn)P(-

6

2

，-

1

2

)代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

1

a2

=

1

2

，即a=

2

．…（4分）
所以橢圓C₁的方程為

x2

2

+y2=1． …（5分）
（Ⅱ）直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，…（6分）
得

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，（*）…（7分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由（*）式得x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1•x2=

2m2-2

1+2k2

…（8分）
kOM+kON=

y1

x1

+

y2

x2

=

kx1+m

x1

+

kx2+m

x2

=2k+

m(x1+x2)

x1x2

．…（9分）
代入并整理得kOM+kON=2k-

4km2

2m2-2

=4k…（10分）
可得m2=

1

2

經(jīng)驗(yàn)證滿足△＞0，…（12分）
∴m2=

1

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓方程的應(yīng)用以及直線和圓的位置關(guān)系，聯(lián)立直線方程進(jìn)行削元轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．