Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)
①求a、b的值；       
②證明f（x）在R上是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)，可得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出即可；
②利用減函數(shù)的定義即可證明．

解答： ①解：∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1），
∴

-1+b

2+a

=0，

-2-1+b

1+a

=-

-2+b

4+a

，
解得b=1，a=2．
②證明：由①可得：f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

．
?x₁＜x₂，∴2x2＞2x1＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2

-(

1

2x2+1

-

1

2

)=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在R上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，屬于中檔題．