在△ABC中，若有一點O滿足OA2+BC2=OB2+AC2=OC2+AB2，則O點是△ABC的
 
心．
考點：三角形五心
專題：解三角形
分析：由
OA
2+
BC
2=
OB
2+
CA
2，得
OA
2-
OB
2=
CA
2-
BC
2，從而得到
BA
（（
OA
+
OB
-
CA
-
BC
）=0，進而得到
BA
⊥
OC
．同理
OA
⊥
BC
，
OB
⊥
AC
，所以O(shè)為△ABC的垂心．
解答： 解：∵
OA
2+
BC
2=
OB
2+
CA
2，
∴
OA
2-
OB
2=
CA
2-
BC
2，
∴（
OA
+
OB
）（
OA
-
OB
）=（
CA
+
BC
）（
CA
-
BC
），
（
OA
+
OB
）•
BA
=
BA
•（
CA
+
BC
），
•
BA
（（
OA
+
OB
-
CA
-
BC
）=0
∴
BA
•（2
OC
）=0
即
BA
•
OC
=0，
∵
BA
，
OC
不為0
∴
BA
⊥
OC
．
同理
OA
⊥
BC
，
OB
⊥
AC
，
∴O為△ABC的垂心．
故答案為：垂．
點評：本題考查三角形的垂心的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量知識的靈活運用．
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.
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.
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9
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