Question

設(shè)滿足以下兩個(gè)條件得有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：

①，②.

（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比；

（2）若一個(gè)等差數(shù)列既為階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）記階“期待數(shù)列”的前項(xiàng)和為.

（）求證：；

（）若存在，使，試問(wèn)數(shù)列是否為階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）（）證明見(jiàn)解析；（）不能，理由見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：

（1）由階“期待數(shù)列”定義，當(dāng)，結(jié)合已知條件①求得等比數(shù)列的公比，若，由①得, ，得，不可能，所以 ；

（2）設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合①②求出公差，再由前項(xiàng)和為求出首項(xiàng)，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；

（3）（）由階“期待數(shù)列”前項(xiàng)中所有的和為0，所有項(xiàng)的絕對(duì)值之和為1，求得所有非負(fù)項(xiàng)的和為，所有負(fù)項(xiàng)的和為，從而得到答案；

（）借助于（）中結(jié)論知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，再由，得到，從而說(shuō)明與不能同時(shí)成立.

(1) 若，則由①

由，所以，得，

由②得或,滿足題意.

若，由①得, ，得，不可能.

綜上所述.

(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為.

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所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718570681924033/SYS201411171857153508574020_DA/SYS201411171857153508574020_DA.034.png">，所以由，得.

由題中的①、②得

, ，

兩式相減得, 即. 又,得.

所以.

(3) 記中非負(fù)項(xiàng)和為,負(fù)項(xiàng)和為.

則, 得.

（） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718570681924033/SYS201411171857153508574020_DA/SYS201411171857153508574020_DA.049.png">，所以.

（） 若存在，使，由前面的證明過(guò)程知：

，

且.

記數(shù)列的前項(xiàng)和為.若為階“期待數(shù)列”，

則由()知, . 所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718570681924033/SYS201411171857153508574020_DA/SYS201411171857153508574020_DA.063.png">， 所以.

所以,.

又, 則.

所以.

所以與不能同時(shí)成立.

所以對(duì)于有窮數(shù)列,若存在，使，

則數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”.

考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列與不等式的綜合.