Question

將圓x²+y²+2x-2y=0按向量平移到圓O，直線l與圓O相交于點P₁，P₂兩點，若在圓O上存在點P₃，使，且，求直線l的方程．

Answer 1

解：將圓的方程x²+y²+2x-2y=0化為（x+1）²+（y-1）²=2，
∴圓x²+y²+2x-2y=0按向量 平移后得到圓x²+y²=2，
∵，又 ，
∴P₁P₂⊥OP₃，，
∴直線l的斜率k=1，設(shè)直線l的方程為 y=x+m，
由 得 2x²+2mx+m²-2=0，△=4m²-8（m²-2）＞0，
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則 x₁+x₂=-m，y₁+y₂=m
∴=（m，n），∵點P₃（m，-m）在圓上，
∴m²+（-m）²=2
解得m=±1，滿足△=4m²-8（m²-2）＞0，
當(dāng) m=1時，l的方程為x-y+1=0，
當(dāng) m=-1時，l的方程為x-y-1=0．
分析：先求出平移后的圓的方程，設(shè)出直線的方程，并把它代入圓的方程利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出點P₃的坐標(biāo)的解析式，把點P₃的坐標(biāo)代入圓的方程，可解得m值．
點評：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，直線和圓相交的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬中檔題