Question

求拋物線y=2x²與直線x=0,x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積S.

Answer 1

解：(1)分割

在區(qū)間［0,1］上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間:［0,］,［］,…,［,1］.

記第i個(gè)區(qū)間為［］(i=1,2,…,n),其長度為Δx=.分別將上述n-1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形,它們的面積記作:ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_n.

S=.

(2)近似代替

記f(x)=2x²,當(dāng)n很大,即Δx很小時(shí)，在區(qū)間［］上，可以認(rèn)為f(x)=2x²的值變化很小，近似地等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值f().就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊,這樣,在區(qū)間［］上,用小矩形的面積ΔS_i′近似地代替ΔS_i,即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”,則有

ΔS_i≈ΔS_i′=f()ΔS=2()²·Δx

=2()²·(i=1,2,…,n).                                       ①

(3)求和

小曲邊梯形的面積和S_n≈

從而得到S的近似值，

S=S_n=                            ②

(4)取極限

分別將區(qū)間［0,1］等分成8，16，20，…等份時(shí)，可以看到隨著n的不斷增大，即Δx越來越小時(shí)，S_n=越來越趨近于S，而當(dāng)n趨向于+∞時(shí)，②式無限趨向于,即所求面積為.