Question

已知函數(shù)f（x）=a•2^x-2^-x，函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈R，不等式f（x）+g（x）-1≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)p（x，y）為g（x）上任意一點(diǎn)，則p（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為p′（-x，y），由題意知p′（-x，y）在f（x）圖象上，代入可得g（x）=a•2^-x-2^x；
（Ⅱ）由題意可得a（2^-x+2^x）-（2^-x+2^x）-1≥0，解得a≥1+

1

2x+2-x

（x∈R），令y=t+

1

t

，其中t=2^x＞0，易知y在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，即可推得y_min=2，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)p（x，y）為g（x）上任意一點(diǎn)，則p（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為p′（-x，y），
由題意知p′（-x，y）在f（x）圖象上，故g（x）=a•2^-x-2^x．
（Ⅱ）由f（x）+g（x）-1≥0得a（2^-x+2^x）-（2^-x+2^x）-1≥0，
∵2^-x+2^x＞0
∴a≥1+

1

2x+2-x

（x∈R）
令y=t+

1

t

，其中t=2^x＞0，易知y在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=1，即x=0時(shí)，y_min=2
∴(1+

1

2x+2-x

)max=

3

2

．
故有：a≥

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題及解法，屬于中檔題．