Question

α，β是關于x的方程x²+2x+p=0的兩個虛根，若復平面上α，β，1對應點構(gòu)成正三角形，那么實數(shù)p=

 

．

Answer 1

考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：由題意，可設α=m+ni，則由實系數(shù)一元二次方程虛根成對定理可得β=m-ni，且m與n為實數(shù)，n≠0．由根與系數(shù)的關系得到m，n的關系，上α，β，1對應點構(gòu)成正三角形，求得到實數(shù)p的值．

解答： 解：設α=m+ni，則由實系數(shù)一元二次方程虛根成對定理可得β=m-ni，且m與n為實數(shù)，n≠0．
由根與系數(shù)的關系可得α+β=2m=-2，α•β=m²+n²=p．∴p＞0．
∴m=-1，p=n²．
∵復平面上α，β，1對應點構(gòu)成正三角形，
∴tan

π

6

=

3

3

=

|n|

|m-1|

=

| P |

2

，
解得p=

4

3

，
故答案為：

4

3

．

點評：本題主要考查實系數(shù)一元二次方程虛根成對定理、根與系數(shù)的關系，三角形是正三角形是解題的關鍵，屬于基礎題．