Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，滿足4S n=(an+1)2，設(shè)b_n=a2n-1，T_n=b₁+b₂+…b_n（n∈N^*），則當(dāng)T_n＞2013時(shí)，n的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由4S_n=（a_n+1）²，推導(dǎo)出a_n=2n-1，從而得到b_n=a2n-1=2ⁿ-1，利用分組求和法求出T_n，再由指數(shù)的性質(zhì)能求出當(dāng)T_n＞2013時(shí)，n的最小值．

解答： 解：∵4S_n=（a_n+1）²，
∴Sn=

(an+1)2

4

，Sn+1=

(an+1+1)2

4

，
∴Sn+1-Sn=an+1=

(an+1+1)2-(an+1)2

4

，
∴4a_n+1=an+12-an2+2an+1-2an，
∴2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∵a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1-a_n=2，
即{a_n}為公差等于2的等差數(shù)列，
由（a₁+1）²=4a₁，解得a₁=1，
∴a_n=2n-1．
∴b_n=a2n-1=2•2^n-1-1=2ⁿ-1，
∴T_n=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n，
∵T_n＞2013，∴2ⁿ⁺¹-n＞2015，
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048，
∴當(dāng)T_n＞2013時(shí)，n的最小值為10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法及其應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意分組求和法的合理運(yùn)用．