Question

19．求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}-\frac{1}{2}（a+1）{x^2}$+x（a∈R）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)函數(shù)，通過a的范圍判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可，求解單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：f'（x）=ax²-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）
當(dāng)a=0時(shí)，若x＜1，則f'（x）＞0，此時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）；
當(dāng)a≠0時(shí)，令f'（x）=0，則x=1或$x=\frac{1}{a}$，
當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{1}{a}＜1$，若$x∈（\frac{1}{a}，1）$，則f'（x）＞0，
此時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（\frac{1}{a}，1）$．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{1}{a}＞1$，若$x∈（-∞，1）∪（\frac{1}{a}，+∞）$，則f'（x）＞0，
此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（-∞，1）∪（\frac{1}{a}，+∞）$．
當(dāng)a=1時(shí)，在R上f'（x）≥0，此時(shí)函數(shù)f（x）在R單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞1時(shí)，$\frac{1}{a}＜1$，若$x∈（-∞，\frac{1}{a}）∪（1，+∞）$，則f'（x）＞0，
此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（-∞，\frac{1}{a}），（1，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分類討論思想的應(yīng)用，是中檔題．