Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=a．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取CD的中點(diǎn)E，連接NE，ME，可證NE∥PD，EM∥DA，從而面NEM∥面PDA，即可證明MN∥平面PAD；
（2）先證明MN⊥CD，由PM=MC，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，可證MN⊥PC，CD∩PC=C，從而得證．

解答：
證明：（1）取CD的中點(diǎn)E，連接NE，ME，
∵M(jìn)、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，
∴NE∥PD，EM∥DA，
∴面NEM∥面PDA，
∴MN∥平面PAD；
（2）∵底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，
∵EN∥PD
∴EN⊥CD
又∵CD⊥EM，EM∩EN=E
∴CD⊥平面ENM
∴MN⊥CD
∵PM=

PA2+AM2

=

a2+( 1 2 AB)2

=

BC2+MB2

=MC，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，
∴MN⊥PC，CD∩PC=C
∴MN⊥平面PCD．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，屬于基本知識的考查．