Question

5．已知橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過(guò)其右焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1．如圖，A，B是橢圓的左右頂點(diǎn)，M是橢圓上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AM，BM與直線l：x=4分別交于C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若|CD|=4，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2^{2}}{a}$=1，由此能求出橢圓的方程；
（Ⅱ）分別求出C，D的坐標(biāo)，利用|CD|=4，求出直線AM的斜率，進(jìn)而可求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）∵G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵過(guò)其右焦點(diǎn)F與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1，
∴$\frac{2^{2}}{a}$=1，
解得a²=4，b²=1，
∴∴橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線AM的方程為y=k（x+2）（k＞0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$得C（4，6k）；
y=k（x+2）代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
設(shè)M（x₀，y₀），則（-2）x₀=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₀=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₀=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
即M（$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），
∵B（2，0），
∴直線BM的方程為y=-$\frac{1}{4k}$（x-2），
x=4時(shí)，y=-$\frac{1}{2k}$，∴D（4，-$\frac{1}{2k}$）
∴|CD|=|6k+$\frac{1}{2k}$|=4
∵k＞0，∴k=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{6}$，
從而M（0，1）或M（$\frac{8}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，正確求出M的坐標(biāo)是關(guān)鍵．