Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，.

（1）若是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接，利用平行線(xiàn)的傳遞性結(jié)合得到，再利用點(diǎn)為的中點(diǎn)得到，從而證明四邊形為平行四邊形，從而得到，最終結(jié)合直線(xiàn)與平面的判定定理證明平面；（2）建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線(xiàn)為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法來(lái)求二面角的余弦值.

試題解析：（1），，，，

，，

由于，因此連接，由于，，

在平行四邊形中，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，且，

因此，且，所以四邊形為平行四邊形，，

又平面，平面，平面；

（2），，

又平面，、、兩兩垂直。

分別以、、所在直線(xiàn)為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，

故，，又，，.

設(shè)平面的法向量，

則，，取，得，所以，

設(shè)平面的法向量，則

，∴，取，得，所以，

所以

故二面角的余弦值為.

考點(diǎn)：1.直線(xiàn)與平面平行；2.利用空間向量法求二面角