【題目】某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為．計劃修建的公路為，如圖所示，為的兩個端點，測得點到的距離分別為5千米和40千米，點到的距離分別為20千米和2．5千米，以所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．假設(shè)曲線符合函數(shù)（其中為常數(shù)）模型．

（1）求的值；

（2）設(shè)公路與曲線相切于點，的橫坐標(biāo)為．

①請寫出公路長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；

②當(dāng)為何值時，公路的長度最短？求出最短長度．

【答案】（1）；（2）①；②當(dāng)時，公路的長度最短，最短長度為千米．

【解析】

試題分析：（1）由題意得分別為

；（2）①由（1）知 ，求導(dǎo)得

；；

②設(shè)，令，利用導(dǎo)數(shù)工具可得：當(dāng)時，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時．

試題解析：

（1）由題意知，點的坐標(biāo)分別為．

將其分別代入，得，解得．

（2）①由（1）知，，則點的坐標(biāo)為，

設(shè)在點處的切線交軸分別交于點，，

則的方程為，由此得．

故

②設(shè)，則，令，解得．

當(dāng)時，，是減函數(shù)；

當(dāng)時，是增函數(shù)．

從而，當(dāng)時，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，

此時，

答：當(dāng)時，公路的長度最短，最短長度為千米

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某校學(xué)生的視力情況，現(xiàn)采用隨機抽樣的方式從該校的兩班中各抽5名學(xué)生進行視力檢測，檢測的數(shù)據(jù)如下：

班5名學(xué)生的視力檢測結(jié)果是：.

班5名學(xué)生的視力檢測結(jié)果是：.

（1）分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪個班的學(xué)生視力較好？并計算班的5名學(xué)生視力的方差；

（2）現(xiàn)從班上述5名學(xué)生中隨機選取2名，求這2名學(xué)生中至少有1名學(xué)生的視力低于的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解今年某校高三畢業(yè)班想?yún)④姷膶W(xué)生體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖）.已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1:2：3，其中第2小組的頻數(shù)為24.

（Ⅰ）求該校高三畢業(yè)班想?yún)④姷膶W(xué)生人數(shù)；

（Ⅱ）以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省高三畢業(yè)班想?yún)④姷耐瑢W(xué)中（人數(shù)很多）任選三人，設(shè)表示體重超過60公斤的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】連江一中第49屆田徑運動會提出了“我運動、我陽光、我健康、我快樂”的口號，某同學(xué)要設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的長方形海報進行宣傳，要求版心面積為162 （版心是指圖中的長方形陰影部分，為長度單位分米），上、下兩邊各空2 ，左、右兩邊各空1 .

（Ⅰ）若設(shè)版心的高為 ，求海報四周空白面積關(guān)于的函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）要使海報四周空白面積最小，版心的高和寬該如何設(shè)計？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f (x)＝lg(ax2＋2x＋1) ．

(1)若函數(shù)f (x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)f (x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正四面體的頂點、、分別在兩兩垂直的三條射線， ， 上，則在下列命題中，錯誤的是( )

A. 是正三棱錐

B. 直線與平面相交

C. 直線與平面所成的角的正弦值為

D. 異面直線和所成角是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，為等邊三角形，，，為的中點.

（1）求；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是邊長為3的正方形，平面，，且，．

（1）試在線段上確定一點的位置，使得平面；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計方法．設(shè)方程為，用某種數(shù)學(xué)方法到處等價的形式，然后按以下步驟執(zhí)行：

（1）選一個方程的近似根，賦給變量；

（2）將的值保存于變量，然后計算，并將結(jié)果存于變量；

（3）當(dāng)與的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復(fù)步驟（2）的計算．若方程有根，則按上述方法求得的就認(rèn)為是方程的根．試用迭代法求某個數(shù)的平方根，用流程圖和偽代碼表示問題的算法．

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