Question

已知橢圓左、右焦點分別為F1、F2，點P（2，），點F2在線段PF1的中垂線上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率求得a和c的關系，進而根據(jù)橢圓C的左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）又點F2在線段PF1的中垂線上，推斷|F1F2|=|PF2|，進而求得c，則a和b可得，進而求得橢圓的標準方程．（2）設直線MN方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設M（x1，y1），N（x2，y2），根據(jù)韋達定理可表示出x1+x2和x1x2，表示出直線F2M和F2N的斜率，由直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù)，可推斷兩直線斜率之和為0，把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的關系，代入直線方程進而可求得直線過定點．

【解析】
（1）由橢圓C的離心率 得，其中，橢圓C的左、右焦點分別為又點F2在線段PF1的中垂線上

解得

（2）由題意，知直線MN存在斜率，設其方程為

由

消去設

則 且

（8分）

由已知，得

化簡，得

（10分）

整理得

直線MN的方程為，

因此直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0） （12分）．

考點：1．橢圓的標準方程；2．恒過定點的直線；3．直線與圓錐曲線的綜合問題．