Question

正四棱錐S-ABCD中，高SO=2

6

，兩相鄰側(cè)面所成角為γ，tan

γ

2

=

2 3

3

，
（1）求側(cè)棱與底面所成的角．
（2）求側(cè)棱長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)和斜高（如圖）．

Answer 1

分析：（1）在正四棱錐S-ABCD中，側(cè)棱與底面所成的角即為：∠SAO，∠SBO，∠SCO，∠SDO，由已知條件“兩相鄰側(cè)面所成角為γ，tan

γ

2

=

2 3

3

”可知，得先作出相鄰側(cè)面所成二面角的平面角，作CF⊥SB于F，連接AF，易證∠AFC是相鄰側(cè)面所成二面角的平面角，在Rt△OFC與Rt△OBF中，可求得∠SBO的大�。�
（2）本題的設(shè)問(wèn)是遞進(jìn)式的，第（1）問(wèn)是為第（2）問(wèn)作鋪墊的．由第（1）問(wèn)可知：在Rt△SOB、Rt△SEB中，可求得側(cè)棱長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)和斜高．

解答：解：（1）作CF⊥SB于F，連接AF，
則△CFB≌△ABF且AF⊥SB，
故連接OF，則∠AFC=γ，∠OFC=

γ

2

，
在Rt△OFC與Rt△OBF中，tan

γ

2

=

OC

OF

=

OB

OF

=

1

sinα

（其中∠SBO為SB與底面所成的角，設(shè)為α）故sinα=

3

2

，α=60°．
（2）在Rt△SOB中，側(cè)棱SB=

SO

sina

=4

2

，OB=SO•cotα=2

2

，
∴邊長(zhǎng)BC=

2

•OB=4；取BC的中點(diǎn)E，連接SE，則SE是正四棱錐的斜高，
在Rt△SEB中，斜高SE=

SB2-SE2

=2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查空間中的線(xiàn)面關(guān)系，直線(xiàn)與平面所成的角、二面角、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)考查空間想象能力和思維能力．