Question

11．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosφ}\\{y=\sqrt{3}+tsinφ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，φ∈[0，$\frac{π}{3}$]），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的圓心C的極坐標為（2，$\frac{π}{3}$），半徑為2，直線l與圓C相交于M，N兩點．
（I）求圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）求當φ變化時，弦長|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由圓C的圓心C的極坐標為（2，$\frac{π}{3}$），即$（1，\sqrt{3}）$，半徑為2，可得圓的標準方程為：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4，展開 利用互化公式即可化為極坐標方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程可得：t²+2tcosφ-3=0，利用根與系數(shù)的關系可得：|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，再利用三角函數(shù)的單調性與值域即可得出．

解答 解：（I）由圓C的圓心C的極坐標為（2，$\frac{π}{3}$），即$（1，\sqrt{3}）$，半徑為2，可得圓的標準方程為：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4，
展開可得：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y=0，化為極坐標方程：ρ²-2ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ=4cos$（\frac{π}{3}-θ）$．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程可得：t²+2tcosφ-3=0，
∴t₁+t₂=-2cosφ，t₁t₂=-3．
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2$\sqrt{co{s}^{2}φ+3}$，
∵φ∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴cosφ∈$[\frac{1}{2}，1]$，cos²φ∈$[\frac{1}{4}，1]$．
∴|MN|∈$[\sqrt{13}，4]$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應用、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、三角函數(shù)的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．