Question

2．（1）分別寫出下列函數(shù)：y=log₂x，x∈[$\frac{1}{2}$，4]，y=cosx，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]的最小值和最大值；
（2）設函數(shù)y=f（x）的定義域為D，最小值為m，最大值為M，若m∈D且M∈D，則稱y=f（x），x∈D為“B函數(shù)”；
①從第（1）小題給出的兩個函數(shù)中，選出“B函數(shù)”；
②若f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$，x∈[1，b]為“B函數(shù)”，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分析兩個函數(shù)的單調性，進而可得函數(shù)的最小值和最大值；
（2）①根據(jù)“B函數(shù)”的定義，結合（1）中求出的最值，可得答案；
②根據(jù)“B函數(shù)”的定義，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）∵y=log₂x，x∈[$\frac{1}{2}$，4]為增函數(shù)，
故當x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最小值-1，當x=4時，函數(shù)取最大值2；
∵y=cosx，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]在[-$\frac{π}{3}$，0]上為增函數(shù)，在[0，$\frac{π}{2}$]上為減函數(shù)，
且cos（-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，cos$\frac{π}{2}$=0，
故當x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取最小值0，當x=0時，函數(shù)取最大值1；
（2）①函數(shù)y=log₂x，x∈[$\frac{1}{2}$，4]的最小值-1∉[$\frac{1}{2}$，4]，不滿足“B函數(shù)”的定義；
函數(shù)y=cosx，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]的最大值1和最小值0均屬于定義域，滿足“B函數(shù)”的定義；
綜上：函數(shù)y=cosx，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]為“B函數(shù)”；
②f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
當x∈D=[1，b]時，函數(shù)為增函數(shù)，
∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$，x∈[1，b]為“B函數(shù)”，
∴當x=1時，函數(shù)取最小值1∈D，
當x=b時，函數(shù)取最大值$\frac{^{2}-2b+3}{2}$∈（1，b]，
解得：b∈（1，3]

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，新定義“B函數(shù)”，正確理解新定義的涵義是解答的關鍵．