Question

偶函數(shù)f（x）滿足f（x-2）=f（x+2），且在x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2cos

π

4

x則關(guān)于x的方程f（x）=(

1

2

)x在 x∈[-2，6]上解的個(gè)數(shù)是

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是周期為4的是偶函數(shù)，在[0，2]上的表達(dá)式為f（x）=2cos

π

4

x，由此不難作出f（x）在[-2，6]上的圖象，再在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=（

1

2

）^x的圖象，觀察兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即得本題方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，0≤

π

4

x≤

1

2

π，f（x）=2cos

π

4

x
∴函數(shù)f（x）在x=0時(shí)，函數(shù)值有最大值f（0）=2cos0=2，
在x=2時(shí)，函數(shù)值有最小值f（2）=2cos

1

2

π=0．
由此作出函數(shù)f（x）在x∈[0，2]時(shí)的圖象，呈減函數(shù)趨勢(shì)如圖
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）在[-2，0]上的圖象與[0，2]上的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示
∵函數(shù)f（x）滿足f（x-2）=f（x+2），∴函數(shù)f（x）是周期T=4的周期函數(shù)．
因此，將f（x）在[-2，2]上的圖象向右平移一個(gè)周期，得f（x）在[2，6]上的圖象
∴函數(shù)f（x）在[-2，6]上的圖象如右圖所示，是位于x軸上方的兩段余弦型曲線弧
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=（

1

2

）^x的圖象，可得它經(jīng)過點(diǎn)（0，1），呈減函數(shù)趨勢(shì)如圖
因?yàn)閮蓚�(gè)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，得關(guān)于x的方程f（x）=（

1

2

）^x的實(shí)數(shù)根也有4個(gè)．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)討論為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、基本初等函數(shù)圖象作法和函數(shù)的周期等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．