Question

12．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元（如圖）．

（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？

Answer 1

分析 （1）由投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，結(jié)合函數(shù)圖象，我們可以利用待定系數(shù)法來求兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系；
（2）由（1）的結(jié)論，我們設(shè)設(shè)投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．這時(shí)可以構(gòu)造出一個關(guān)于收益y的函數(shù)，然后利用求函數(shù)最大值的方法進(jìn)行求解．

解答 解：（1）f（x）=k₁x，g（x）=${k}_{2}\sqrt{x}$，
f（1）=$\frac{1}{8}$=k₁，g（1）=k₂=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{8}$x（x≥0），g（x）=$\frac{1}{2}\sqrt{x}$（x≥0）
（2）設(shè)：投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．
y=f（x）+g（20-x）=$\frac{x}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{20-x}$（0≤x≤20）
令t=$\sqrt{20-x}$，則y=$\frac{20-{t}^{2}}{8}+\frac{1}{2}t$=-$\frac{1}{8}（t-2）^{2}+3$．
所以當(dāng)t=2，即x=16萬元時(shí)，收益最大，y_max=3萬元．

點(diǎn)評 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解�！�還原四個過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問題中，最常見的思路之一．