Question

已知函數f（x）=[x]+|sin

πx

2

|，x∈[-1，1]．其中[x]表示不超過x的最大整數，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2．
（Ⅰ）試判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據函數奇偶性的定義即可試判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求出函數f（x）的表達式，即可求函數f（x）的值域

解答： 解：（Ⅰ）∵f（-1）=-1+1=0，f（1）=1+1=0，
∴f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1），
即函數f（x）既不是奇函數也不是偶函數；
（Ⅱ）f（x）=[x]+|sin

πx

2

|=

-1-sin πx 2 ，x∈[-1，0) sin πx 2 ，  x∈[0，1) 2 ，  x=1

，
當x∈[-1，0）時，f（0）＜f（x）≤f（-1），
即-1＜f（x）≤0，
當x∈[0，1）時，f（0）≤f（x）＜f（1），
即0≤＜f（x）＜1，
當x=1時，f（x）=2，
綜上得函數f（x）的值域為（-1，1）∪{2}．

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷以及函數值域的求解，根據函數的定義求出函數的表達式是解決本題的關鍵．