Question

11．已知點A（a，b）和點B（1，0）在直線3x-4y+10=0兩側(cè)，給出下列說法：
①3a-4b+10＞0；
②當a＞0時，a+b有最小值，無最大值；
③$\sqrt{{a^2}+{b^2}}＞2$；
④當a＞0且a≠1，b＞0時，$\frac{a-1}$的取值范圍為$（-∞，-\frac{5}{2}）∪（\frac{3}{4}，+∞）$．
其中所有正確說法的序號是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②③④
• D． ③④

Answer 1

分析 根據(jù)點A（a，b）與點B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，可以畫出點A（a，b）所在的平面區(qū)域，進而結(jié)合二元一次不等式的幾何意義，兩點之間距離公式的幾何意義，及兩點之間連線斜率的幾何意義，逐一分析四個答案．可得結(jié)論．

解答 解：∵點A（a，b）與點B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，
故點A（a，b）在如圖所示的平面區(qū)域內(nèi)，

故3a-4b+10＜0，即①錯誤；
當a＞0時，a+b＞$\frac{5}{2}$，a+b無最小值，也無最大值，故②錯誤；
設(shè)原點到直線3x-4y+10=0的距離為d，則d=$\frac{10}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=2，則$\sqrt{{a^2}+{b^2}}＞2$，故③正確；
當a＞0且a≠1，b＞0時，$\frac{a-1}$表示點A（a，b）與B（1，0）連線的斜率，
∵當a=0，b=$\frac{5}{2}$時，$\frac{a-1}$=-$\frac{5}{2}$，
又∵直線3x-4y+10=0的斜率為$\frac{3}{4}$，
故$\frac{a-1}$的取值范圍為（-∞，-$\frac{5}{2}$）∪（$\frac{3}{4}$，+∞），故④正確；
故選：D

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根的存在性與個數(shù)判斷等知識點，難度中檔．