Question

已知函數(shù)f(x)=alnx-

1

x

，a為常數(shù)．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y-5=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤2x-3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)大于0可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=alnx-

1

x

-2x+3，x∈[1，+∞），求導(dǎo)函數(shù)g′(x)=

-2x2+ax+1

x2

，設(shè)h（x）=-2x²+ax+1，h（0）=1＞0，分類討論
：當(dāng)a≤1時(shí)，可得g（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)從而g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-3；當(dāng)a＞1時(shí)，令h（x）=-2x²+ax+1=0得x1=

a+ a2+8

4

＞1，x2=

a- a2+8

4

＜ 0，從而可得f（x₁）＞2x-3，不滿足題意，故可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，f′(x)=

ax+1

x2

．
又曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y-50垂直，
所以f'（1）=a+1=2，即a=1．                          …（4分）
（2）由f′(x)=

ax+1

x2

，
當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）＞0，得0＜x＜-

1

a

，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，-

1

a

)；
由f'（x）＜0，得x＞-

1

a

，所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-

1

a

，+∞)．  …（10分）
（3）設(shè)g（x）=alnx-

1

x

-2x+3，x∈[1，+∞），∴g′(x)=

-2x2+ax+1

x2

設(shè)h（x）=-2x²+ax+1，h（0）=1＞0
當(dāng)a≤1時(shí)，h（x）=-2x²+ax+1的對(duì)稱軸為x=

a

4

＜1，h（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，h（x）≤h（1）=a-1≤0
∴g′（x）≤0，g（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)
∴g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-3
當(dāng)a＞1時(shí)，令h（x）=-2x²+ax+1=0得x1=

a+ a2+8

4

＞1，x2=

a- a2+8

4

＜ 0
當(dāng)x∈[1，x₁）時(shí)，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在[1，x₁）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，x₁）上是減函數(shù)；
∴g（1）＜g（x₁），即f（x₁）＞2x-3，不滿足題意
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)函數(shù)．