Question

15．設(shè)a為正實數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+7，若f（x）≥1-a對一切x＞0成立，則a的取值范圍為[4，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)x＞0則-x＜0，利用條件和奇函數(shù)的性質(zhì)求出x＞0時的解析式，再由基本不等式求出此時f（x）的最小值，根據(jù)恒成立列出不等式，求出a的取值范圍．

解答 解：設(shè)x＞0，則-x＜0，
∵當(dāng)x＜0時，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+7，
∴f（-x）=-x-$\frac{a}{x}$+7，
∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=x+$\frac{a}{x}$-7，
又a是正實數(shù)，則x+$\frac{a}{x}$≥$2\sqrt{a}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{a}{x}$時取等號，
∴f（x）=x+$\frac{a}{x}$-7≥$2\sqrt{a}$-7，
∵f（x）≥1-a對一切x＞0成立，
∴$2\sqrt{a}$-7≥1-a，即a+$2\sqrt{a}$-8≥0，
解得$\sqrt{a}≥2$或$\sqrt{a}≤-4$（舍去），即a≥4，
∴a的取值范圍為[4，+∞），
故答案為：[4，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值的應(yīng)用，屬于中檔題．