已知函數(shù)f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x) ， x∈R．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調性；
（2）對于函數(shù)f（x），當x∈（-1，1）時，有f（1-t）+f（1-t2）＜0，求t的取值范圍．
（1）因為函數(shù)f（x）的定義域為R，又f（-x）=
a
a2-1
（a-x-ax）=-f（x）
所以f（x）是奇函數(shù)
當a＞1，函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．
證明：在R上任取x1＜x2，
則 f(x1)-f(x2)=
a
a2-1
(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=
a
a2-1
(ax1-ax2)  (
ax1 ax2 +1
ax1ax2
)
因為x1＜x2，又a＞1，所以 ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，
ax1ax2+1
ax1ax2
＞0，
a
a2-1
＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x1）＜f（x2）．
所以函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)
同理，當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)
（2）由f（1-t）+f（1-t2）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t2）．
由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（1-t）＜f（t2-1）．
又函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，所以1-t＜t2-1，即t2+t-2＞0．
-1＜1-t＜1
-1＜1-t2＜1
t2+t-2＞0
∴1＜t＜
2
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調性的情況，并證明你的結論．

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