Question

9．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4．
（Ⅰ） 若直線l過點(diǎn)A（2，3）且被圓C截得的弦長為2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（Ⅱ） 若直線l過點(diǎn)B（1，0）與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求△CPQ的面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，4），半徑R=2，推出圓心C到直線l的距離d=1，（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x=2，判斷是否滿足題意；（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y-3=k（x-2），利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．
（Ⅱ）法一：設(shè)直線l方程：y=k（x-1），利用點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形面積公式，通過二次函數(shù)的最值求解即可．
法二：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，表示三角形的面積，利用基本不等式求解即可．
法三：S_△CPQ=$\frac{1}{2}$R•Rsin∠PCQ，利用三角函數(shù)的最值求解，圓心C到直線l的距離$d=\sqrt{2}$，然后轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，4），半徑R=2，
∵直線l被圓E截得的弦長為2$\sqrt{3}$，∴圓心C到直線l的距離d=1 …（2分）
（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x=2，顯然滿足d=1； …（3分）
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0，
由圓心C到直線l的距離d=1得：$\frac{|k-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，解得k=0，故l：y=3； …（5分）
綜上所述，直線l的方程為x=2或y=3…（6分）
（Ⅱ）法一：∵直線與圓相交，∴l(xiāng)的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線l方程：y=k（x-1），
即kx-y-k=0，則圓心C到直線l的距離為d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，…（8分）
又∵△CPQ的面積S=$\frac{1}{2}×d×2\sqrt{4-qaasu00^{2}}$=d$\sqrt{4-00e2gwu^{2}}$=$\sqrt{2siakkm^{2}（4-qyi0igw^{2}）}$=$\sqrt{-（ckkc200^{2}-2）^{2}+4}$…（10分）
∴當(dāng)$d=\sqrt{2}$時，S取最大值2．由d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，得k=1或k=7，
∴直線l的方程為x-y-1=0或7x-y-7=0．…（12分）
法二：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，
則${S_{△CPQ}}=\frac{1}{2}PQ•d=\sqrt{4-{d^2}}•d=\sqrt{（4-{d^2}）•{d^2}}≤\frac{{（4-{d^2}）+{d^2}}}{2}=2$（取等號時$d=\sqrt{2}$）
以下同法一．
法三：${S_{△CPQ}}=\frac{1}{2}R•Rsin∠PCQ=2sin∠PCQ≤2$
取“=”時∠PCQ=90°，△CPQ為等腰直角三角形，則圓心C到直線l的距離$d=\sqrt{2}$，
以下同法一．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，考查直線與位置關(guān)系的關(guān)系，涉及基本不等式，二次函數(shù)的最值，三角函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．