精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

（1）設(shè)橢圓 $數(shù)學(xué)公式$ + $數(shù)學(xué)公式$ =1（m＞0，n＞0）的右焦點與拋物線y²=8x的焦點相同，離心率為 $數(shù)學(xué)公式$ ，求橢圓的標準方程．
（2）設(shè)雙曲線與橢圓 $數(shù)學(xué)公式$ + $數(shù)學(xué)公式$ =1有相同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標為4，求此雙曲線的標準方程．

解：（1）∵拋物線y²=8x的焦點坐標為F（2，0）
∴橢圓 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（m＞0，n＞0）的右焦點為F（2，0），可得m²-n²=4…①
∵橢圓的離心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …②
聯(lián)解①②，得m²=16，n²=12
∴該橢圓的標準方程為 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1；
（2）∵橢圓 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1經(jīng)過點A的縱坐標為4
∴設(shè)A（t，4），可得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，解之得t= $\text{[math]}$ ，A（ $\text{[math]}$ ，4）
∵橢圓 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1的焦點為（0，±3），雙曲線與橢圓 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1有相同的焦點，
∴雙曲線的焦點為（0，±3），因此設(shè)雙曲線方程為 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（0＜k＜9）
將點A（ $\text{[math]}$ ，4）代入，得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，解之得k=4（舍負）
∴雙曲線方程為 $\text{[math]}$ =1
分析：（1）由拋物線方程得到它的焦點坐標為F（2，0）也是橢圓的右焦點，由此得到m²-n²=4．根據(jù)橢圓離心率為 $\text{[math]}$ ，得到m²-n²= $\text{[math]}$ m²，聯(lián)解得到m²=16，n²=12，即得該橢圓的標準方程；
（2）根據(jù)橢圓 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1經(jīng)過點A的縱坐標為4，算出A的橫坐標是 $\text{[math]}$ ，得A（ $\text{[math]}$ ，4）．算出橢圓的焦點坐標為（0，±3）也是雙曲線的焦點，由此可設(shè)雙曲線方程為 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（0＜k＜9），代入點A坐標解出k=4，從而得到此雙曲線的標準方程．
點評：本題給出兩個曲線有公共的焦點，在已知它們一個交點坐標的情況下求曲線的方程，著重考查了橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C₁：

=1和圓C：x²+y²=4，且圓C與x軸交于A₁，A₂兩點．
（1）設(shè)橢圓C₁的右焦點為F，點P的圓C上異于A₁，A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的右準線交于點Q，試判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）設(shè)點M（x₀，y₀）在直線x+y-3=0上，若存在點N∈C，使得∠OMN=60°（O為坐標原點），求x₀的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：

=1（a＞b＞0）．
（1）設(shè)橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)（1）中的橢圓C與直線y=kx+1相交于P、Q兩點，求

•

的取值范圍；
（3）設(shè)A為橢圓C：

=1（a＞b＞0）的長軸的一個端點，B為橢圓短軸的一個端點，F(xiàn)為橢圓C的一個焦點，O為坐標原點，記∠BFO=θ．當橢圓C同時滿足下列兩個條件：①

≤θ≤

；②O到直線AB的距離為

，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

=1(a＞b＞0)的左右焦點．
（1）設(shè)橢圓C上的點(

，

)到F₁，F(xiàn)₂兩點距離之和等于2

，寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過（1）中所得橢圓上的焦點F₂且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF₁的面積；
（3）設(shè)點P是橢圓C 上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PN，k_PN試探究k_PN•k_PN的值是否與點P及直線l有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓和圓，且圓C與x軸交于A₁，A₂兩點（1）設(shè)橢圓C₁的右焦點為F，點P的圓C上異于A₁，A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的右準線交于點Q，試判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明。（2）設(shè)點在直線上，若存在點，使得（O為坐標原點），求的取值范圍。