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設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若·+·=8,求k的值.

 

【答案】

(1) +=1 (2) k=±

【解析】

解:(1)設F(-c,0),由=,知a=c.

過點F且與x軸垂直的直線為x=-c,

代入橢圓方程有+=1,

解得y=±,

于是=,解得b=,

又a2-c2=b2,從而a=,c=1,

所以橢圓的方程為+=1.

(2)設點C(x1,y1),D(x2,y2),

由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1).

由方程組消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,

則x1+x2=-,x1x2=.

因為A(-,0),B(,0),

所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)

=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.

由已知得6+=8,解得k=±.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，其長軸長與短軸長的和等于6．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，設橢圓E的上、下頂點分別為A1、A2，P是橢圓上異于A1、A2的任意一點，直線PA1、PA2分別交x軸于點N、M，若直線OT與過點M、N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
2
3
，橢圓G上的點N到兩焦點的距離之和為12，點A、B分別是橢圓G長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點．點P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA⊥PF．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求點P的坐標；
（3）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知F（c，0）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點；⊙F：（x-c）2+y2=a2與x軸交于D，E兩點，其中E是橢圓C的左焦點．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設⊙F與y軸的正半軸的交點為B，點A是點D關于y軸的對稱點，試判斷直線AB與⊙F的位置關系；
（3）設直線BF與⊙F交于另一點G，若△BGD的面積為4
3
，求橢圓C的標準方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓=1(a＞b＞0)的焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),右準線l交x軸于點A,且.

(1)試求橢圓的方程;

(2)過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(如圖所示),試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值.

(文)已知函數f(x)=x3+bx2+cx,b、c∈R,且函數f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調遞增,在區(qū)間(1,3)上單調遞減.

(1)若b=-2,求c的值;

(2)求證:c≥3;

(3)設函數g(x)=f′(x),當x∈［-1,3］時,g(x)的最小值是-1,求b、c的值.

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