Question

已知二次函數(shù)y=g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值為m-1（m≠0），且y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，設(shè)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，-2）的距離的最小值為，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0在x∈[-1，1]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)y=g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值為m-1（m≠0），可知函數(shù)在x=1時有最小值，為m-1這樣，就可設(shè)出函數(shù)的頂點(diǎn)式，根據(jù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，求出a的值，把f（x）化簡，用兩點(diǎn)間的距離公式求出|PQ|，用含m的式子表示，根據(jù)|PQ|的最小值為，求m的值．
（2）先把方程f（2^x）-k•2^x=0化簡為，分離k與x，把看做一個整體，就可看作關(guān)于的二次函數(shù)，判斷此函數(shù)的單調(diào)性，求出值域，m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0在x∈[-1，1]上有實(shí)數(shù)解，則k的值應(yīng)該在二次函數(shù)的值域中．據(jù)此解出k的范圍．
解答：解：（Ⅰ）依題可設(shè)g（x）=a（x-1）²+m-1（a≠0），則g'（x）=2a（x-1）=2ax-2a；
又g′（x）的圖象與直線y=2x平行∴2a=2，a=1  
∴g（x）=（x-1）²+m+1=x²-2x+m，，
設(shè)P（x，y），則|PQ|²=x²+（y+2）²=
=
當(dāng)且僅當(dāng)時，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值
當(dāng)m＞0時，   解得m=
當(dāng)m＜0時，  解得            
（Ⅱ）m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0化為，
令，k=t²-2t+1
∵x∈[-1，1]∴記∅（t）=t²-2t+1
∴∅（t）在上單調(diào)遞減，在t∈[1，2]上單調(diào)遞增，
∴
∅（2）=（2-1）²=1F（1）=（1-1）²=0
根據(jù)題意 方程k=t²-2t+1在內(nèi)有實(shí)數(shù)解，∴0≤k≤1
點(diǎn)評：本題主要考查了利用函數(shù)單調(diào)性求值域，以及一元二次方程根的分布的判斷．