Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x+m．
（Ⅰ）對于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若g（x）=mx-6x²-2f（x）在（1，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到3x²-9x+（6-a）≥0恒成立，根據(jù)判別式△≤0，求出a的范圍即可；
（2）求出f（x）的極大值和極小值，從而求出m的范圍即可；
（3）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的g′（x）的最大值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-9x+6，
x∈R，f′（x）≥a恒成立，即3x²-9x+（6-a）≥0恒成立，
∴△=81-12（6-a）≤0，解得：a≤-$\frac{3}{4}$，
∴a的最大值是-$\frac{3}{4}$；
（2）由f′（x）=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）_極大值=f（1）=$\frac{5}{2}$+m，f（x）_極小值=f（2）=2+m，
故f（2）＞0或f（1）＜0時(shí)，方程f（x）=0僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m的范圍是（-∞，-$\frac{5}{2}$）∪（-2，+∞）；
（3）∵g（x）=-2x³+3x²+（m-12）x-2m，
∴g′（x）=-6${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+（m-$\frac{21}{2}$），
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，g′（x）的最大值是g′（1）=m-12，
令g′（1）＞0，解得：m＞12，
∴m的范圍是（12，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．