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12.已知數(shù)列a1=13、a1=13滿足:a1=13,an+bn=1,bn+1=12bn
(1)求證:數(shù)列{1n1}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,求Sn

分析 (1)進行變形得到1n+11=-1+1n1,故{1n1}是等差數(shù)列,
(2)并求出其通項,進而可求出數(shù)列{an}的通項公式;
(3)根據(jù)(2)結果,然后利用裂項相消法求Sn,

解答 解:(1)證明:∵bn+1=12bn,
∴bn+1-1=12n-1,
1n+11=2nn1=-1+1n1,
a1=13,an+bn=1,
∴b1=23,
111=-3,
∴{1n1}是以-3為首項,-1為公差的等差數(shù)列;
(2)由(1)可得1n1=-3-(n-1)=-n-2,
∴bn=1-1n+2=n+1n+2,
∵an+bn=1,
∴an=1-bn=1-(1-1n+2)=1n+2,
∴anan+1=1n+2n+3=1n+2-1n+3
∴Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1=(13-14)+(14-15)+…+(1n+2-1n+3)=13-1n+3=n3n+9

點評 本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構造法求數(shù)列的通項公式,及數(shù)列的求和問題,屬于中檔題

練習冊系列答案
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