已知圓C:(x-1)2+y2=r2(r>1),設(shè)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作圓C的弦AM,并使弦AM的中點(diǎn)恰好落在y軸上.
(1)當(dāng)r在(1,+∞)內(nèi)變化時(shí),求點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(2)設(shè)軌跡E的準(zhǔn)線為l,N為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作軌跡E的兩條切線,切點(diǎn)分別為P,Q.求證:直線PQ必經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)B,并寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)設(shè)M(x,y),則AM的中點(diǎn).因?yàn)镃(1,0),,.在⊙C中,因?yàn)镃D⊥DM,所以,,由此能求出點(diǎn)M的軌跡E的方程.
(2)軌跡E的準(zhǔn)線l:x=-1,所以,可設(shè)N(-1,t),過(guò)N的斜率存在的直線方程為:y-t=k(x+1),由.由△=1-k(k+t)=0得:k2+kt-1=0.由此入手能夠證明直線PQ必經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)B,并能求出B的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)M(x,y),則AM的中點(diǎn)
因?yàn)镃(1,0),,
在⊙C中,因?yàn)镃D⊥DM,所以,
所以
所以,y2=4x(x≠0)
所以,點(diǎn)M的軌跡E的方程為:y2=4x(x≠0)(5分)(說(shuō)明漏了x≠0不扣分)
(2)軌跡E的準(zhǔn)線l:x=-1
所以,可設(shè)N(-1,t),過(guò)N的斜率存在的直線方程為:y-t=k(x+1)

由△=1-k(k+t)=0得:k2+kt-1=0.
設(shè)直線NP,NQ斜率分別為k1,k2,則k1k2=-1①且
所以,
所以,直線PQ的方程:
令y=0,則
由①知,x=1即直線PQ過(guò)定點(diǎn)B(1,0).(10分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
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(2)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí),求弦AB的長(zhǎng).
(3)設(shè)圓C與x軸交于M、N兩點(diǎn),有一動(dòng)點(diǎn)Q使∠MQN=45°.試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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(1)當(dāng)l經(jīng)過(guò)圓心C時(shí),求直線l的方程;
(2)當(dāng)弦AB的長(zhǎng)為4
2
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2
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