Question

下列命題：
①函數(shù)y=

x-2 x+2

的定義域是（-∞，-2]∪[2，+∞）；
②若函數(shù)y=f（x）在R上遞增，則函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)至多有一個(gè)；
③若f（x）是冪函數(shù)，且滿足

f(4)

f(2)

=3，則f（

1

2

）=

1

3

④式子(a-1)-

1

2

有意義，則a的范圍是[1，+∞）；
⑤任意一條垂直于x軸的直線與函數(shù)y=f（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：①求出y=

x-2 x+2

的定義域；
②用反證法說明命題②正確；
③設(shè)出冪函數(shù)y=x^α，由

f(4)

f(2)

得f（

1

2

）的值；
④求出使(a-1)-

1

2

有意義a的取值范圍；
⑤舉反例說明命題⑤錯(cuò)誤；

解答：①∵

x-2

x+2

≥0，∴x≥2或x＜-2，∴y=

x-2 x+2

的定義域是（-∞，-2）∪[2，+∞），∴命題①錯(cuò)誤；
②假設(shè)y=f（x）的零點(diǎn)有兩個(gè)，設(shè)為x₁≠x₂，則f（x₁）=f（x₂）=0，這與y=f（x）在R上遞增矛盾，∴假設(shè)錯(cuò)誤∴命題②正確；
③∵f（x）是冪函數(shù)，設(shè)y=x^α，由

f(4)

f(2)

=

4α

2α

=2^α=3，得f（

1

2

）=(

1

2

)α=

1

2α

=

1

3

，命題③正確；
④(a-1)-

1

2

=

1

a-1

有意義，則a-1＞0，∴a＞1，∴命題則④錯(cuò)誤；
⑤∵直線x=0與函數(shù)y=

1

x

的圖象無交點(diǎn)，∴命題⑤錯(cuò)誤；
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：本題通過命題真假的判定，考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．