Question

【題目】已知橢圓: 上的任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值為3，離心率為 ，

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若為曲線(xiàn)上兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn) 的斜率分別為，且，求直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)的最大值及此時(shí)直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）橢圓上的任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值為，結(jié)合離心率的值即可得方程；

（2）設(shè)， ，直線(xiàn)與圓： 的交點(diǎn)為，①當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)， ，易得，②當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓聯(lián)立得得， ，結(jié)合韋達(dá)定理可解得， 即可得最值.

試題解析：

（1）橢圓上的任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值為,又離心率為,

解得： ，進(jìn)而得.

橢圓的方程為：

（2）設(shè)， ，直線(xiàn)與圓： 的交點(diǎn)為．

①當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)， ，

由得或

此時(shí)可求得．

②當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立消得，

，

， ，

所以 ，

由得， ，

此時(shí)．

圓： 的圓心到直線(xiàn)的距離為，

所以，

得，

所以當(dāng)時(shí)， 最大，最大值為，

綜合①②知，直線(xiàn)被圓： 截得弦長(zhǎng)的最大值為，

此時(shí)，直線(xiàn)的方程為

點(diǎn)睛: 本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線(xiàn)的方程是一次的，圓錐曲線(xiàn)的方程是二次的，故直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．