Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．

Answer 1

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．

解：（Ⅰ）由得，所以．

    由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

    由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．

    （Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．

    于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立．

    由得．

    ①當(dāng)時(shí)，．

    此時(shí)在上單調(diào)遞增．

    故，符合題意．

    ②當(dāng)時(shí)，．

    當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（Ⅲ），

，

，

 

由此得，

故．