【題目】如圖,已知拋物線的焦點為.

若點為拋物線上異于原點的任一點,過點作拋物線的切線交軸于點,證明:.

,是拋物線上兩點,線段的垂直平分線交軸于點 (不與軸平行),且.過軸上一點作直線軸,且被以為直徑的圓截得的弦長為定值,求面積的最大值.

【答案】證明見解析; .

【解析】

的坐標,求出在處的導數(shù),進而求出在處的切線的方程,令求出的坐標,進而求出的值,到準線的距離為的值可得,進而可得結(jié)論;

設直線的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,進而求出弦長,再求線段的中點坐標,求出的中垂線的方程,將點代入中垂線的方程可得參數(shù)的關(guān)系,設的坐標,由以為直徑的圓截直線的弦長為定值可得的坐標,進而求出到直線的距離,代入面積公式可得關(guān)于直線斜率的表達式,令函數(shù)求導可得函數(shù)的最大值,即求出面積的最大值.

解:由拋物線的方程可得,準線方程:,設,

由拋物線的方程可得,所以在處的切線的斜率為:,

所以在處的切線方程為:

,可得,

,

所以,而到準線的距離,由拋物線的性質(zhì)可得

所以,

可證得:.

設直線的方程為:,,

直線與拋物線聯(lián)立

整理可得:,

,

,

,,

所以的中點坐標為:,

所以線段的中垂線方程為:,

由題意中垂線過,所以,即,①

由拋物線的性質(zhì)可得:,

所以,即,②

,,

的中點的縱坐標為,

所以以為直徑的圓與直線的相交弦長的平方為:

,

要使以為直徑的圓截得的弦長為定值則可得,時相交弦長的平方為定值,即

所以到直線的距離為:,

而弦長

,

所以,

將①代入可得

,

為偶函數(shù),

只看的情況即可,

,

,單調(diào)遞增;

,,單調(diào)遞減,

所以上,為最大值,

所以的最大值為:.

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A.B.

C.D.

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