Question

9．拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，經(jīng)過此拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)M（3，1），且與準(zhǔn)線相切的圓共有2個(gè)．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程，設(shè)出所求圓的圓心，表示出半徑，則圓的方程可得，把M，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)代入整理求得b²+2b-9=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：拋物線y²=4x的焦參數(shù)p=2，所以F（1，0），準(zhǔn)線l：x=-1，即x+1=0，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M（3，1）、F（1，0），且與直線l相切的圓的圓心為Q（a，b），
則半徑為Q到l的距離為即1+a，
∴所以圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=（1+a）²；
將M、F的坐標(biāo)代入，（3-a）²+（1-b）²=（1+a）²①，
（1-a）²+b²=（1+a）²②，
由①②得：4a+2b-9=0，③
b²=4a，④
由③④得：b²+2b-9=0，
解得△＞0．
故圓的個(gè)數(shù)為2個(gè)．
故答案為：x=-1，2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程以及圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．