Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

2

=1（a＞

2

）的離心率為

6

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P是橢圓C上任意一點(diǎn)，Q為圓E：x²+（y-2）²=1上任意一點(diǎn)，求PQ的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用e=

6

3

=

c

a

，b²=2，a²=b²+c²．解出即可．
（2）由圓E：x²+（y-2）²=1可得圓心為E（0，2），又點(diǎn)Q在圓E上，可得|PQ|≤|EP|+|EQ|=|EP|+1（當(dāng)且僅當(dāng)直線PQ過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)）．設(shè)P（x₁，y₁）是橢圓C上的任意一點(diǎn)，可得

x

2 1

=6-3

y

2 1

．于是|EP|²=-2(y1+1)2+12．由于y1∈[-

2

，

2

]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵e=

6

3

=

c

a

，又b²=2，a²=b²+c²．
解得a²=6．
∴橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由圓E：x²+（y-2）²=1可得圓心為E（0，2），又點(diǎn)Q在圓E上，
∴|PQ|≤|EP|+|EQ|=|EP|+1（當(dāng)且僅當(dāng)直線PQ過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)）．
設(shè)P（x₁，y₁）是橢圓C上的任意一點(diǎn)，
則

x 2 1

6

+

y 2 1

2

=1，即

x

2 1

=6-3

y

2 1

．
∴|EP|²=

x

2 1

+(y1-2)2=6-3

y

2 1

+(y1-2)2=-2(y1+1)2+12．
∵y1∈[-

2

，

2

]，∴當(dāng)y₁=-1時(shí)，|EP|²取得最大值12，即|PQ|≤2

3

+1．
∴|PQ|的最大值為2

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．