Question

已知f（x）=sin（x+

π

6

）+

3

sin（x-

π

3

）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）若a∈（0，

π

2

），f（a）=

2

，求f（2a）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接結(jié)合兩角和與差的三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；
（2）根據(jù)（1），得到a=

5π

12

，然后，求解即可．

解答： 解：（1）f（x）=sin（x+

π

6

）+

3

sin（x-

π

3

）
=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

+

3

sinxcos

π

3

-

3

cosxsin

π

3

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

3

2

sinx-

3

2

cosx
=

3

sinx-cosx
=2sin（x-

π

6

），
∴f（x）=2sin（x-

π

6

）．
令-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[-

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z，
（2）∵f（a）=

2

，
∴f（a）=2sin（a-

π

6

）=

2

，
∴sin（a-

π

6

）=

2

2

，
∵a∈（0，

π

2

），
∴a-

π

6

=

π

4

，
∴a=

5π

12

，
∴f（2a）=f（

5π

6

）=2sin（

5π

6

-

π

6

）
=2sin

2π

3

=2×

3

2

=

3

．
∴f（2a）的值

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式、兩角和與差的三角公式等知識(shí)，屬于中檔題．